Si \(\Delta_n=\begin{vmatrix}1&\ldots&\ldots&\ldots&1\\ a_1&\ldots&\ldots&\ldots&a_n\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a^{n-1}_1&\ldots&\ldots&\ldots&a^{n-1}_n\end{vmatrix}\)
Montrer que si \(a_1,\ldots,a_{n-1}\) sont fixés, et si \(a_n\) est variable :
\(\Delta_n=P(a_n)\), avec \(P\) polynôme
Quel est son degré et son coefficient dominant ?
Déterminer \(\Delta_n\)

Exprimer \(\Delta_n\)
Soit \(c_k\) le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la colonne et la ligne de \(k\)
On sait que : $$\begin{align}\Delta_n&=(-1)^{n+1}c_1+(-1)^{n+2}a_nc_2+(-1)^{n+3}a^2_nc_3+\ldots+(-1)^{n+n}a^{n-1}_nc_n\\ &=k_1+k_2a_n+k_3a_n^2+\ldots+k_na_n^{n-1}\quad\text{ avec }\quad k_i=(-1)^{n+i}c_i\end{align}$$

Identification des caractéristiques du polynôme
C'est un polynôme de degré \(n-1\), de coefficient dominant $$c_n=\begin{vmatrix}1&\ldots&\ldots&\ldots&1\\ a_1&\ldots&\ldots&\ldots&a_n\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a^{n-1}_1&\ldots&\ldots&\ldots&a^{n-1}_n\end{vmatrix}$$

On reconnait \(\Delta_{n-1}\)
Donc $$\Delta_n=\Delta_{n-1}a_n^{n-1}+\underbrace{\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots}_{\text{termes inconnus de degré }\leqslant n-1}$$

Exprimer les \(\Delta_i\) en polynômes scindés en cherchant ses racines (i.e. Les valeurs de \(a_n\) tq le déterminant est nul)

Quelles sont les racines de \(\Delta_n\) ?
Si \(a_n\in\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}\), alors il y a deux colonnes identiques donc \(\Delta_n=0\)
On a donc : $$\begin{align}\Delta_n&=\Delta_{n-1}(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})\\ \Delta_{n-1}&=\Delta_{n-2}(a_{n-1}-a_n)\cdots(a_{n-1}-a_{n-2})\\ &\ldots\end{align}$$
On a donc : $$\Delta_i=\prod_{j\gt i}(a_j-a_i)$$
Et \(\Delta_n\neq0\) si et seulement si les \(a_i\) ne sont pas tous égaux

(Déterminant, Polynôme caractéristique, Polynôme scindé)